Category archives: Интервалы монотонности и экстремумы функции

Пожалуйста, будьте осторожны в своих высказываниях! Точки экстремума - это значения "икс". Экстремумы - это "игровые" значения. Сколько экстремумов может иметь функция? Ни одного, 1, 2, 3, ... и т.д. Например, синус имеет бесконечно много минимумов и максимумов.

Термин "максимум функции" не идентичен термину "максимальное значение функции". Легко видеть, что значение максимально только в локальной окрестности, а слева вверху есть "более крутые собратья". Аналогично, "минимум функции" - это не то же самое, что "минимальное значение функции", и на рисунке мы видим, что значение минимально только в определенной области. В связи с этим точки экстремума также называются точками локального экстремума, а экстремумы - локальными экстремумами.

Существуют и глобальные аналоги. Так, любая парабола имеет глобальный минимум или глобальный максимум в своей вершине. Подведем итог нашего небольшого экскурса в теорию контрольным выстрелом: что включает в себя задача "Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции"? С помощью производной функции! Как найти интервалы возрастания, убывания, точки экстремума и экстремумы функции? Многие правила, по сути, уже известны и понятны из урока о значении производной. Производная касательной несет радостное сообщение о том, что функция возрастает во всей области ее определения.

С котангенсом и его производной ситуация прямо противоположная. Арксинус на интервале растет - производная здесь положительна:. Функция определена, но она не дифференцируема. Однако в критической точке существует правосторонняя производная и правосторонняя касательная, а на другом краю - их левосторонние аналоги. Я не думаю, что вам будет трудно провести аналогичные рассуждения для косинуса дуги и его производной.

Все вышеперечисленные случаи, многие из которых являются табличными производными, напомню, следуют непосредственно из определения производной. Зачем исследовать функцию с помощью производной? Чтобы узнать больше о том, как выглядит график этой функции: где он идет "снизу вверх", а где "сверху вниз", где он достигает минимума и максимума, если вообще достигает.

Не все функции так просты - в большинстве случаев мы вообще не имеем ни малейшего представления о графике функции. В этом случае функция непрерывна на всей числовой прямой, и это действие несколько формально.

Но в некоторых случаях здесь есть много интересного, так что давайте отнесемся к этому абзацу без пренебрежения. Смущает концовка? Экстремум функции "модуль x". Условие необходимое, но не достаточное, а обратное не всегда верно. Таким образом, из равенства еще не следует, что функция достигает максимума или минимума в точке. Классический пример - кубическая парабола и ее критическая точка.

Но как бы то ни было, необходимое условие экстремума диктует необходимость нахождения подозрительных точек. Для этого нужно найти производную и решить уравнение: В начале своей первой статьи о графиках функций я рассказал, как быстро построить параболу на примере: "...берем первую производную и приравниваем ее к нулю: ...Итак, решение нашего уравнения: - это точка, в которой находится вершина параболы..."

.

Кроме того, в самом конце урока есть аналогия о производной функции. Поэтому давайте повысим степень: Пример 2 Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Это пример для самостоятельного решения.

.

Полное решение и пример чистого примера задачи в конце урока. Наступил долгожданный момент знакомства с дробно-рациональными функциями: Пример 3 Исследуйте функцию с помощью первой производной Обратите внимание, как вариативно можно переформулировать практически одну и ту же задачу.

Полное решение и пример чистого примера в конце урока.

Решение : 1 Функция имеет бесконечные разрывы в точках. Найдите первую производную и приравняйте ее к нулю: Решите уравнение. Эффективнее даже не считать, а "прикинуть" устно. Например, возьмем точку, принадлежащую интервалу , и подставим:. Два "плюса" и один "минус" дают "минус", следовательно , а значит, производная отрицательна и на всем интервале. Это действие, как вы понимаете, нужно выполнить для каждого из шести интервалов.

Кстати, обратите внимание, что множитель числителя и знаменателя строго положительны для любой точки любого интервала, что значительно облегчает задачу. Удобно сшивать похожие интервалы с помощью символа join. Повторим важный момент: точки не считаются критическими - функция там не определена. Следовательно, экстремумы здесь не могут существовать в принципе, даже если производная поменяет знак.

Ответ таков: функция возрастает на и убывает на В точке максимум функции достигается: , а в точке минимума достигается:. Знание интервалов монотонности и экстремумов вместе с уже установленными асимптотами дает вам очень хорошее представление о внешнем виде графика функции. Человек со средним уровнем подготовки способен устно определить, что график функции имеет две вертикальные асимптоты и наклонную асимптоту.

Это наш герой: Попробуйте еще раз связать результаты исследования с графиком этой функции. В критической точке нет экстремума, но есть перегиб графика, что обычно бывает в подобных случаях. Пример 4.

Навигация

thoughts on “Интервалы монотонности и экстремумы функции

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *